日 時 平成11年２月15、17、18日
対 象 山梨大学教育人間科学部附属小学校 第３学年１組
授業者 中 村 享 史
１．計算指導で大切にしたいこと
計算指導で大切にしたいことは、計算の仕方をつくり出すことであると私は考えている。なぜならば、算数は、創造的に学習に取り組む姿勢を育てる教科であり、計算指導では、既習事項をもとにつく出すことができるからである。
一方、計算指導において、計算の形式を覚えることや速く計算できることが大切あるという主張もある。これは、「できる」ことに重点を置いた指導である。私は、その立場をとらない。計算が「できる」ことに越したことはない。しかし、それ以上に計算を「つくる」楽しさを子どもの味わってほしいと考えているからである。日常生活では、電卓が普及している。計算の答えを求めるだけなら、電卓を使えば簡単に求められる。小学校の子どもたちに経験してほしいことは、計算の仕方をつくり出すことであり、計算を工夫して行うことである。
「つくり出す」とは、子どもがこれまでに学習した内容や方法、そして、見方・考え方を根拠にして、未知の問題に取り組み、解決していくことである。
２位数のかけ算は計算の仕方をつくり出すことができる単元であると考えている。それは、かけ算九九を学習する中でかけ算のきまりや性質を子どもたちが見つけているからである。そこで、ここでは筆算の仕方を形式的に覚えるのではなく、いろいろな方法を用いることで、算数を楽しむことを味わわせたいと考えている。
２．２位数のかけ算をつくり出す根拠
２位数をかける計算の仕方をつくり出すための根拠は、「計算のきまり」と「数直線」である。この「かけ算のきまり」と「数直線」について詳しく述べる。
２．１ かけ算のきまりの活用
かける数が２位数になったときの計算の仕方は、既習のかけ算やかけ算のきまりを根拠にして、子どもがつくり出すことができると私は考えている。
ここで用いるかけ算のきまりは、次の３つである。
(ｱ)かける数を２つの数の和に分けて計算しても、答えは変わらない。
(ｲ)かける数を２つの数の積に分けて計算しても、答えは変わらない。
(ｳ)かけられる数を２倍して、かける数を２で割っても積は変わらない。
子どもたちは、このようなかけ算のきまりを言葉で表現するわけではない。具体的な数値を計算する中で、これらのきまりを意識している。だから、計算をつくり出すとき、言葉でかけ算のきまりを言わせることはさほど必要ではない。
これらのかけ算のきまりを用いると、25×12の計算は、次のようにして答えを求めることができる。
①25×12＝25×（10＋２）＝25×10＋25×２＝250＋50＝300
②25×12＝25×（４×３）＝（25×４）×３＝100×３＝300
③25×12＝（25×２）×（12÷２）＝50×６＝300
①の方法は、(ｱ)のきまりを用いている。これは、かける数の12を２数の和としてみていることである。ここでは、12を10と２に分けているが、他の分け方もある。かける数を１位数に限定するなら、９と３，８と４，７と５、６と６などがある。これは、既習の10や１位数をかける計算で解決することができる。
この方法のよさは、筆算の考えに通じることである。かける数を一の位と十の位の数に分けて、それぞれをかけるという手続きは、筆算の手続きと同じである。その意味では、この方法が一般性がある方法といえる。
②の方法は、(ｲ)のきまりを用いている。これは、かける数の12を２数の積としてみていることである。12＝４×３とすることで、４倍して、その積を３倍するという手続きになる。同様な方法では、25×３×４、25×２×６、25×６×２などがある。これらによって、２位数×１位数、３位数×１位数の計算で答えを求めることができる。
この方法のよさは、かけ算だけで答えを求めることができることである。また、数値によっては、簡単な暗算でできる場合がある。一方で、どんな数値にも適用できる方法ではない。かける数が13の場合、２数の積としてみると、13×１しかない。あえて13を２×５＋２とみることは、かえって計算手続きが複雑になる。
③の方法は、(ｳ)のきまりを用いている。この方法は、「２倍して、２で割る」という手続きになる。この他にも、かける数が12の場合は、「３倍して、３で割る」「４倍して、４で割る」「６倍して、６で割る」ということになる。
この方法は、小数や分数のかけ算において計算の仕方をつくり出す時に有効に働く。「10倍（分母倍）して、10（分母の数）で割る」ということである。その意味で、本単元において子どもから見つけさせたいきまりである。
２．２ 数直線の活用
かけ算の構造を表したものに数直線がある。数直線は、文章問題の数値の関係を明らかにすることや計算の仕方を導き出すことができるものである。また、かけ算だけでなく逆演算としてのわり算との関係も数直線から読みとることができる。したがって、小学校のかけ算・わり算の指導では、積極的に数直線を用いたいと考えている。
例えば、「２ｍが50円のリボン、12ｍの値段はいくらか」という問題を表す数直線は下のようになる。
０ 50 □ （円）
├───┼────┼───
├───┼────┼───
０ ２ 12 （ｍ）
この数直線から、２、12、50、□の関係が分かる。そして、12ｍの値段を求めるには、「長さが２ｍから12ｍと６倍になったので、値段も50円の６倍になる」ということで、50×６という式を立てることができる。
数直線には、いろいろな数を表すことができる。上の数直線では、２ｍ、12ｍが見えているが、その他にもいろいろな数値が数直線上に表すことができる。
具体的には、次のように表すことができる。
０ 25 50 100 □ （円）
├┼──┼─┼──┼───
├┼──┼─┼──┼───
０ １ ２ ４ 12 （ｍ）
これは、１ｍが25円（50÷２）、４ｍが100円（50×２）ということが分かる。このように様々な計算をすることで、それぞれのリボンの長さに対応するそれぞれの値段を求めることができる。
さらに、計算の仕方もこの数直線から導くことができる。例えば、25×12の計算は、２番目の数直線に表されている数値の関係から求めることができる。「25を４倍して、それを３倍する」と考えると25×４×３という式で表すことができる。また、「６倍して、それを２倍する」という場合は、25×６×２と式で表すことができる。
３．計算の仕方をつくり出す中で生まれる問い
計算の仕方をつくり出すとき、大切な問いは次の４つであると私は考えている。
①根拠は何かを問う（根拠）
②他の方法ができないかを問う（多様性）
③共通することは何かを問う（共通性）
④いつでもできるかを問う（一般性）
「根拠を問う」ことは、計算の仕方を考えるときどんな既習事項を用いているかを問うことである。この問いには、未習と既習を峻別するという意識が含まれてる。この問いによって、２位数をかける計算の仕方をつくり出すとき、使ったかけ算のきまりは何か、どのような既習計算を用いているかを明らかにしたいという態度が培われる。
「多様性を問う」ことは、個人の中で生まれると同時に、学級集団で計算方法を検討するときに生まれるものである。個人の中では、一つの方法ではなく、もっといい方法がないだろうかというよりよい方向を追求する姿勢になる。また、学級集団では、自分の方法だけでなく、他の人との方法も知りたい、自分とどこが違っている方法なのかを知りたいという姿勢になる。２位数をかける計算では、「２数を和としてみる方法」だけでなく、「２数を積としてみる方法」もこの問いによって考え出される。また、それぞれの方法も１種類だけでなく何種類ものやり方が出てくることにつながる。
「共通性を問う」も「多様性を問う」と同様に個人と集団の中で有効な問いである。いろいろな方法が出てきたときは、それを別々の物としてみるのではなく、「同じとしてみられないか」「共通することは何か」などとみる態度が大切である。２位数をかける計算の仕方では、具体的な数値からきまりを見つけたり、似ている方法を分類したりすることが、この問いによって出てくる。
「一般性を問う」は、計算方法がある程度分かった段階で、「他の数値でもできるか」を検討する姿勢につながる。その数値だからたまたまできたのか、それとも他の数値でもうまくできるのかを見極める姿勢が大切である。この問いによって、次への課題を生み出すきっかけとなることもある。
４．単元の計画
４．１ 単元名 かけ算②
４．２ 単元の目標
（関心・意欲・態度）
・２位数をかける計算を既習事項を用いて考えようとする。
・これまでに用いたかけ算のきまりや数直線を使おうとする。
・かけ算の筆算形式のよさに気づく。
（数学的な考え方）
・かけ算のきまりを用いて、計算の仕方をつくり出す。
・数値によって、計算の仕方を工夫する。
・計算手続きを明らかにして、筆算形式をつくる。
（表現・処理）
・２位数をかける計算を工夫して答えを求めることができる。
・筆算で、２位数をかける計算ができる。
（知識・理解）
・２位数をかける計算の意味や計算の仕方が分かる。
・２、３位数に２位数をかける筆算形式の原理や手順が分かる。
４．３ 単元の指導計画 ＜全８時間＞
第１・２時 ２位数×２位数の計算の仕方 ＜本時①②＞
第３時 ２位数×２位数の筆算形式の原理 ＜本時③＞
第４・５時 ２位数×２位数（何十、何百）の筆算形式の手順
第６時 ３位数×２位数の筆算形式の手順
第７時 計算の工夫
第８時 技能練習と習熟
５．本時の展開 （本時①②のみ）
５．１ 本時の目標
（関心・意欲・態度）
・２位数をかける計算を既習の九九や１位数のかけ算を用いて考えようとする。
・これまでに用いたかけ算のきまりや数直線を使おうとする。
（数学的な考え方）
・既習事項やかけ算のきまりを用いて、計算の仕方をつくり出す。
（表現・処理）
・数直線に数量の関係を表すことができる。
・２位数をかける計算を数値に着目して答えを求めることができる。
（知識・理解）
・２位数をかける計算の意味や計算の仕方が分かる。
５．２ 教材の特徴
本時で用いる教材には、次の特徴がある。
①１あたりの大きさを示さない。
②新しい課題が生まれる。
③２数の積としてみることができる数値を用いる。
この特徴について詳しく述べる。
本時の導入問題は、次のものである。
「２ｍが50円のリボンがあります。このリボンを12ｍ買いました。値段はいくらになりますか」
この問題は１ｍあたりの値段を出していない。一般的なかけ算の問題は「１ｍが25円のリボンがあります。このリボン12ｍの値段はいくらですか」である。１ｍの値段を出してない理由は、かけ算の意味の明確化と解決の多様性を意図しているからである。
かけ算の意味は、（１あたりの大きさ）×（倍）である。ところが、子どもはこのかけ算の意味を意識しない場合が多い。問題文に出てくる数値を単純にかければいいと考えていることもある。時には、（値段）×（長さ）＝（値段）と考えている場合もある。そこで、１あたりの大きさを出さないことによって、かけ算とは何かを子どもに意識させることができると考えている。
この問題の解決仕方は２通りある。一つは、「長さが何倍かを求める方法」である。そして、もう一つは「１ｍの値段を求める方法」である。
「長さが何倍かを求める方法」は、リボンの長さが２ｍと12ｍということから、長さが６倍になっていることが分かる。そこで、値段も６倍になると考えて、50×６と立式する。この考えは、長さと値段の間の比例関係が背景にある。このことからかけ算の意味も明らかになる。
「１ｍの値段を求める方法」は、２ｍが50円なので50÷２＝25より１ｍが25円であることが分かる。そこで、12ｍの値段を求めるとき、長さが12倍になっているので値段も12倍と考えて、25×12と立式する。この立式も比例関係を背景にしていることが分かる。
２通りの解決方法が生まれるよさは、計算の仕方をつくり出すことにつながることである。「長さが何倍かを求める方法」は、既習計算だけでできる。すなわち、50×６＝300と求めることができる。そこで、12ｍの値段は300円であるということが分かる。一方、「１ｍの値段を求める方法」は、25×12が未習である。しかし、もう一つの方法で300円になることが分かっているので、25×12＝300になるだろうと予想することができる。
「25×12の計算の仕方を今まで学習してきたことを使って求めよう」という新しい課題が生まれる。つまり、問題から新しい課題が発生することである。
ここで用いた25×12は、多様な解決方法が生まれる数値である。かける数の12を「２数の和としてみる」だけでなく、「２数の積としてみる」こともできる。そこから、様々な解決方法が生まれてくる。
これらの解決方法を検討する中でさらに新しい問いが生まれる。すなわち、かける数が12でなく、他の数でも同じような計算の仕方でできるのかという一般性を検討する新しい問いである。このように授業の中に、問題、課題、問いが連続し、学習が発展する過程が明らかになる。
５．３ 本時の展開
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１．問題の提示 ２ｍが50円のリボンがあります。どんな長さの値段を求めることができますか。 ・１ｍの値段や４ｍの値段を求めることができる。 ・１ｍは50÷２＝25、４ｍは50×２＝100と求めることが分かる。 このリボンで12ｍの長さの時、値段は何円になりますか。 ・12ｍの値段を求める数直線にそれぞれの関係が分かるように数量を表す。 ０ 50 □ （円） ├───┼────┼─── ├───┼────┼─── ０ ２ 12 （ｍ） ・数直線から、お互いの数量の関係がわかる。 |
・ここでいろいろな長さの値段を求めることを知らせる。特に１ｍの値段を求めることも行う。 ・多くの子どもの発想を生かす。
・新しい課題として、長さが12ｍの場合も１ｍや４ｍと同じように求められるかを考えさせる。
・数直線が未習の場合は、教師が数量の関係を説明しながら、数直線を書く。 ・長さが12ｍになって、何倍になっているかを数直線から読み取る。１ｍ、４ｍの値段も必要に応じて数直線に書く。
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２．根拠を問う ・数直線から12ｍの値段を求める方法を考える。 (ｱ)長さが、２ｍから12ｍの６倍になっているので、値段も６倍になるから50×６で求められることがわかる。 (ｲ)２ｍが50円ということから、１ｍの代金を求めて、50÷２＝25。長さが12ｍなので値段も12倍になって、25×12で求められることがわかる。 ・(ｱ)の計算は既習なので、50×６の計算をする。50×６＝300になる。 ・(ｱ)の考えで、12ｍの値段が300円とわかったので、(ｲ)の考えでも300円になると予想できる。 ・(ｲ)の25×12はかける数が２位数のため未習であることがわかる。 ・新たな課題が発生する。
25×12の答えも300になるだろうか。計算の仕方を考えよう。 |
・ここでは数直線から、解決の方法として２つの方法あることを意識させる。 ・(ｱ)の方法が出てこない場合は、教師が必要に応じて、発問をしながら、既習事項だけで解決できる方法を導くようにする。そこから12ｍの値段を求める。 ・(ｲ)の方法は、次のように数直線に１ｍあたりの値段を表す。 ０ 25 50 100 □ （円） ├┼──┼─┼──┼─── ├┼──┼─┼──┼─── ０ １ ２ ４ 12 （ｍ） この場合も、比例の考えが背景にある。 ・黒板にこの数直線も表す。 ・２つの方法を比べながら、既習と未習を峻別させる。その中で、未習の内容を解決しようという意欲を持たせるようにする。
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３．多様性を問う ・25×12の計算の仕方を考える。 ・今まで学習したかけ算のきまりを使って考える。 (ｱ)25×12＝25×（10＋２）＝25×10＋25×２ ＝250＋50＝300 （かける数を２つの数の和に分けて計算しても答えは変わらない） (ｲ)25×12＝（25×２）×（12÷２）＝50×６＝300 （かけられる数を２倍して、かける数を２で割っても答えは変わらない） (ｳ)25×12＝25×（４×３）＝（25×４）×３＝100×３＝300 （かける数を２つの数の積に分けて計算しても、答えは変わらない）
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・ここでは、自力で解決させる時間を設けるが、子どもの様子に合わせて時間を設定する。 ・×１位数の時に用いた筆算を使って計算をする子どももいると思う。その場合は、それを認めて、後でその原理や手続きを考えることにする。 ・解決の仕方は、何通りか考えさせる。筆算で解決するのではなく、横式のまま考えさせる。 ・式変形が難しい場合は、言葉などで解決の仕方を書いてもよいことを知らせる。 ・それぞれの解決方法で、どんなかけ算のきまりを使ったかを意識させる。発表とき根拠としたこと自分の表現でいえるようにしたい。 ・数値の特殊性に目をつけて、この計算だけでも使える方法も考えさせる。 ・いくつかの方法を考えた場合、どの方法が一番気に入っているかを判断させる。
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４．共通性を問う ・解決の方法を発表する。 ・それぞれの方法のよさを知る。 ・それぞれの方法の問題点を探す。 ・お互いに似ているところを探す。 ・それぞれの方法の根拠となっているかけ算のきまりを意識する。 ・その方法も今まで学習をしたことをもとにして導き出されることを気づく。 ・いずれの場合も25×12＝300になることがわかる。
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・解決方法の検討は、それぞれの方法に質問や意見を言わせる。 ・他の子供の解決方法を理解させて、その方法のよさや問題点を話し合わせる。 ・どんなかけ算のきまりを根拠にしているかを意識させる。 ・同じ考えでも数値が違う場合は、すべてを出させる。 ・いくつか出てきた方法は、全て答えが同じになることから、どの方法もよいことを知らせる。
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５．一般性を問う ・数値が違ってもできる方法を考える。 ・導入問題で「50円が75円になった」場合はどうなるか。また、「12ｍが13ｍになった」場合はどうなるか考える。 ・×１位数の時に用いた筆算はどうなるかを考える。 ・学習感想を書いて、今日の学習をまとめる。
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・他の数値になったとき、すべての方法が使えるかを検討する。 ・それぞれの方法を検討する中で、かける数が12でない場合について子どもから出されたときは、その数値を用いる。 ・自力解決で筆算を用いる子どもがいた場合は、次時以降の学習課題とする。 ・学習感想に、それぞれの方法のよさに気づいたという記述があるかを見る。
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５．４ 本時の評価
・数直線から２位数をかけるかけ算の立式ができたかを授業での子どもの解決の仕方からみる。（知・表）
・２位数をかける計算の仕方を、かけ算のきまりを用いて自ら考えることができたかをノート記述や授業での様子からみる。 （関・考）
・それぞれの解決方法のよさに気づき、自分の考えを持てたかを学習感想などの記述から読み取る。（関・考）
６．参考文献
杉山吉茂「公理的方法に基づく算数・数学の学習指導」東洋館出版 1986
杉山吉茂「力がつく算数科教材研究」明治図書 1990
杉山吉茂「少なく教えて多くを学ぶ算数指導」明治図書 1997
中村享史「考える力をのばす教材」国土社 1991
中村享史「自ら問う力を育てる算数授業」明治図書 1993